P2473 [SCOI2008]奖励关

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闲扯

期望用倒推，这算是一个结论吗。。？

题面

P2473 [SCOI2008]奖励关

Solution

由于这是期望题，我们考虑倒推（雾。

设 $dp_{i,S}$ 表示当前在第 $i$ 步，还未选择时已选集合为 $S$ 时，期望还能得到的分数。

若能够选择第 $j$ 个物品，那么：

分别表示取这个和不取这个。

否则，我们有：

由于概率相等，所以要乘上 $\frac{1}{n}$ 。

最后答案为 $dp_{1,0}$ 。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 1e2+5;
int n,m,S,k,val[20],sta[20];
double dp[MAXN][1<<18];
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(m),read(n),S=1<<n;
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		read(val[i]);
		for(read(k);k;read(k))
			sta[i]|=1<<(k-1);
	}
	for(ri i=m;i;--i)
		for(ri T=0;T<S;++T){
			for(ri j=1;j<=n;++j){
				if((T&sta[j])==sta[j])
					dp[i][T]+=max(dp[i+1][T],dp[i+1][T|(1<<(j-1))]+val[j]);
				else
					dp[i][T]+=dp[i+1][T];
			}
			dp[i][T]/=n;
		}
	printf("%.6f",dp[1][0]);
	return 0;
}